ΤΟΜΗΔΕΝ  ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ





TO ΜΗΔΕΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Το πρωτο πραγμα που συμβαινει με τον μηδεν ειναι οτι υπαρχουν δυο σχετικα διαφορετικες χρησεις του, αντιστοιχει σε δυο διαφορετικες σημασιες. Η πρωτη τον θελει δεικτη της κενης θεσης στο συστημα γραφης των αριθμων, αναγκαιο συμβολο για να δειξουμε οτι 934 ειναι κατι διαφορετικο απο το 9304. Η δευτερη χρηση του τον βλεπει ως αριθμο, αναμεσα στο -1 και το +1.

Η αληθεια ειναι πως αργησε να ανακαλυφθει απο τους ανθρωπους, αφου το μηδεν ειναι μακρια απο καθε διαισθητικα αποκαλυπτομενη μαθηματικη εννοια. Μην ξεχναμε πως τα μαθηματικα προβληματα αρχισαν την καριερα τους σαν προβληματα της πραγματικης ζωης (με ποσοτητες που χρειαζοταν να τις συγκρινουμε) και οχι σαν προβληματα σε υψηλο επιπεδο αφαιρεσης. Οι αριθμοι υπηρξαν προϊοντα μιας πρωτογενους μορφης Αφαιρεσης, ομως επρεπε να γινουν τεραστια νοησιακα βηματα για να σκαρφαλωσει η ανθρωπινη σκεψη απο το "3 πετρες" στο "3 πραγματα" και απο εκει στο πολυ πιο αφηρημενο "3".

Οι Βαβυλωνιοι ηταν οι πρωτοι που χρησιμοποιησαν το μηδεν (οχι σαν αριθμο, αλλα σαν δεικτη), ενω παρα την πρωτοποριακη θεωρηση τους στα Μαθηματικα, οι Ελληνες δεν ειδαν το μηδεν ουτε σαν αριθμο ουτε σαν συμβολο-δεικτη για τη θεση των αλλων. Η απαντηση στο "γιατι?" ειναι δυσκολη. Μια αποψη ειναι αυτη που λεει οτι τα ελληνικα μαθηματικα ηταν κατα βαση Γεωμετρια και παρολο που στο ευαγγελιο των ελληνικων μαθηματικων, στα "Στοιχεια" του Ευκλειδη, υπαρχει ενα "Βιβλιο πανω στη θεωρια των αριθμων", η ολη θεωρηση βασιζεται στη Γεωμετρια. Με απλα λογια? Τα ελληνικα Μαθηματικα δεν ειχαν αναγκη να δωσουν ονομα στους αριθμους αφου τους εβλεπαν ως μηκη ευθυγραμμων τμηματων. Μονο οι εμποροι ειχαν αναγκη να τους ονοματισουν τους αριθμους που χρησιμοποιουσαν, αλλα και οι αστρονομοι.

Εναν αιωνα μετα Χριστον, ο Κλαυδιος Πτολεμαιος χρησιμοποιει το βαβυλωνιακο μηδεν ως δεικτη, ενω θα περασουν αλλα 400 περιπου χρονια μεχρι να κανει την επανεμφανιση του (ως δεικτης) στην Ινδια απο τον Aryabhata που θα παρουσιασει ενα συστημα καταγραφης των αριθμων που μοιαζει με το σημερινο αλλα το μηδεν ως αριθμος δεν υπαρχει. Η πρωτη ιστορικα τεκμηριωμενη γραπτη εμφανιση του μηδενος ως αριθμου εγινε το 876 σε ενα ινδικο κειμενο στο οποιο οι αριθμοι 50 και 270 παρουσιαζονται με τη σημερινη τους μορφη αν και το συμβολο για το μηδεν ειναι σχετικα μικροτερο.

Ειναι σημαντικο να κατανοησουμε πως η επινοηση του ΜΗΔΕΝ δεν ειναι προφανης συνεπεια της εξελιξης της ανθρωπινης σκεψης αφου οπως και να το κανουμε δεν υπηρξε ποτε "φυσιολογικος" υποψηφιος για αριθμος. Μονο με την παροδο των αιωνων η εννοια ΑΡΙΘΜΟΣ γινοταν περισσοτερο παιδι της Αφαιρεσης και λιγοτερο δημιουργημα της αναγκης του Συγκεκριμενου. Αυτη η αδιακοπη αναρριχηση της εννοιας στα ψηλοτερα επιπεδα της Αφαιρεσης, ανοιξε το δρομο για τη γεννηση του ινδικου Μηδεν και των ινδικων αριθμων. Η οικοδομηση των δυο εννοιων -Μηδεν και Αρνητικος Αριθμος- καθως και η ενσωματωση τους στο ηδη υπαρχον συστημα αριθμων, απαιτουσε πρωτα απ'ολα την υπερβαση της ιδεας οτι "αυτοι δεν ειναι δυνατον να ειναι αριθμοι" και κατ'επεκταση μια σαφη απαντηση στο ερωτημα πως θα αλληλεπιδρουν με τους υπολοιπους αριθμους.

Απαντηση σε αυτο το ερωτημα επιχειρησαν να δωσουν οι ινδοι μαθηματικοι Brahmagupta, Mahavira και Bhaskara με τρια πολυ σημαντικα βιβλια. Οι απαντησεις τους μοιαζουν πολυ με τις σημερινες, με εξαιρεση τη διαιρεση δια του μηδενος. Ο Brahmagupta την αποδεχεται και θεωρει ως αποτελεσμα ενα κλασμα a/0. Αποδεχεται επισης και το 0/0. Παρα τα σημαντικα αυτα σφαλματα, το εργο του Brahmagupta ειναι η πρωτη εκπληκτικη στο μεγεθος της προσπαθεια του ανθρωπου να διευρυνει το συνολο των αριθμων με το μηδεν και τους αρνητικους. Μια πραγματικα μεγαλη στιγμη των Μαθηματικων.

200 χρονια αργοτερα, ο Mahavira θα παρουσιασει ενα εξαιρετικο βιβλιο στο οποιο ομως θα ισχυριστει οτι n/0=n (δηλαδη οτι η διαιρεση με το μηδεν αφηνει τον αριθμο αναλλοιωτο). Αλλα 300 χρονια αργοτερα ο Bhaskar συμπληρωνει τα προηγουμενα με την ισοτητα 02=0 και στο προβλημα τις διαιρεσης προτεινει οτι n / 0 = οο .Πριν βιαστειτε να πειτε οτι ειναι σωστο, σκεφτειτε οτι αν ισχυει αυτο, θα ισχυει και πως το γινομενο του μηδενος με το απειρο θα πρεπει να δινει οποιονδηποτε αριθμο....

Ωστοσο το εργο των Ινδων εξαπλωθηκε στην Κινα και στον υπολοιπο αραβικο κοσμο αλλα ειναι χρησιμο να γνωριζουμε οτι εκτος απο τους Ινδους (που γεννησαν το Μηδεν τοσο ως αριθμο οσο και ως δεικτη), τουλαχιστον αλλος ενας πολιτισμος το χρησιμοποιησε ως δεικτη και ηταν ο πολιτισμος των Μαγια. Η Ευρωπη γνωρισε το ινδοαραβικο συστημα γραφης οσο και το Μηδεν απο τους Αραβες της Δυσης. Το 12ο αιωνα ο Ibn Ezra μεσα απο τις τρεις πραγματειες του πανω στους αριθμους, συνεβαλε στη μεταλαμπαδευση των ινδοαραβικων συμβολων, του μηδενος και των δεκαδικων στους Ευρωπαιους. Συνδετικος κρικος μεταξυ της ευρωπαϊκης και της ινδοαραβικης κληρονομιας υπηρξε ο Fibonacci που στο Liber Abaci περιγραφει τα εννεα ινδικα συμβολα μαζι με το Μηδεν αλλα χωρις να το αντιμετωπιζει ισοτιμα με τους αλλου εννεα! 300 χρονια μετα τον Fibonacci, ο Cardan θα λυνει τριτοβαθμιες εξισωσεις χωρις ομως να χρησιμοποιει το μηδεν, ουτε καν να τον θεωρει ως πιθανη λυση.

Γενικα η ιδεα οτι το Μηδεν ειναι ενας αριθμος οπως οι αλλοι, αντιμετωπισε πολλες δυσκολιες στην εξαπλωση της. Μονο μετα το 1600 η ιδεα για την ιδιαιτερη μαθηματικη σημασια του Μηδενος αρχισε -αν και με εντονες αντιστασεις- να εξαπλωνεται.


Το μηδέν στη Μεσοποταμία,
Μέχρι το μέσο της 2ης χιλιετίας π.Χ, οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν ένα εξελιγμένο θεσιακό εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης. Η έλλειψη συμβόλου κράτησης θέσης (δηλαδή η έλλειψη ειδικού συμβόλου για το μηδέν) αντιμετωπίστηκε με τη χρήση ενός κενού διαστήματος για κάθε ψηφίο μηδέν που αντικαθιστούσε. Μέχρι το 300 π.Χ., ένα σύμβολο στίξης (δυο λοξές σφήνες) προστέθηκε ως σύμβολο κράτησης θέσης στο Βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης. Σε μια πινακίδα που βρέθηκε στο Κις (Σουμερία) (Kish) και χρονολογήθηκε γύρω στο 700 π.Χ., ο γραφέας Μπελμπαναπλού (Bêl-bân-aplu) έγραψε τα μηδενικά του χρησιμοποιώντας τρία (3) άγκιστρα, αντί για δυο (2) λοξές σφήνες.
Βέβαια, τα βαβυλωνιακά σύμβολα κράτησης θέσης (κενά διαστήματα, σφήνες και άγκιστρα) δεν ήταν πραγματικά μηδέν, γιατί ποτέ δεν χρησιμοποιήθηκαν μόνα τους, αλλά ούτε και γράφονταν μετά το τέλος ενός αριθμού. Έτσι, π.χ. οι αριθμοί 2 και 120 (=2•60), 3 και 180 (=3•60), 4 και 240 (=4•60), φαίνονταν ίδιοι, γιατί οι μεγαλύτεροι της εξηντάδας αριθμοί δεν έφεραν το (τελικό) σύμβολο κράτησης θέσης του εξηνταδικού συστήματος. Μόνο τα συμφραζόμενα μπορούσαν (ίσως) να διαφωτίσουν τον αναγνώστη, πότε ένας αριθμός αναφερόταν σε απλές μονάδες ή μονάδες κάποιας ανώτερης τάξης του εξηνταδικού τους συστήματος.
Το μηδέν στην Αρχαία Ινδία
Το θέμα του μηδέν ως ένας αριθμός και όχι απλά ως ένα σύμβολο κράτησης θέσης αποδίδεται στην αρχαία Ινδία, όπου ως τον 9ο αιώνα μ.Χ., οι πρακτικοί υπολογισμοί πραγματοποιούνταν με τη χρήση του μηδέν, στο οποίο συμπεριφερόταν όπως σε οποιονδήποτε άλλον αριθμό, ακόμη και στην περίπτωση της διαίρεσης. Ο ινδός λόγιος Πίγκαλα (Pingala, περίπου στη χρονική περίοδο 5ο-2ο π.Χ) χρησιμοποιούσε δυαδικούς αριθμούς στη μορφή βραχύτερων και μακρύτερων συλλαβών (με τις μακρύτερες να έχουν το μήκος δύο (2) βραχύτερων συλλαβών), φτιάχνοντας (δηλαδή) ένα σύστημα παρόμοιο με τον κώδικα Μορς. Αυτός και οι σύγχρονοί του Ινδοί λόγιοι χρησιμοποιούσαν τη σανσκριτική λέξη «σούνυα» (śūnya) για να αναφερθούν στο μηδέν.
Το 498 μ.Χ., ο Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Αριαμπάτα (Aryabhata) άρχισε το έργο του «σθανάτ σθανάμ ντασέγκουναμ συάτ» (sthānāt sthānaṁ daśaguņaṁ syāt, δηλαδή "θέση προς θέση στο δεκαπλάσιο της αξίας"), που αποτελεί την προέλευση του συμβολισμού του σύγχρονου δεκαδικού θεσιακού αξιακού συστήματος.
Το παλαιότερο γνωστό κείμενο που χρησιμοποίησε ένα δεκαδικό θεσιακό αξιακό σύστημα, που περιλαμβάνει και το μηδέν, είναι το κείμενο Jain από την Ινδία με τίτλο Λοκαβιμπάγκα (Lokavibhâga), χρονολογημένο στο 458 μ.Χ., όπου η λέξη «σούνυα» (shunya, δηλαδή «τίποτε» ή «άδειο») χρησιμοποιήθηκε γι' αυτόν το σκοπό. Η πρώτη γνωστή χρήση ειδικού γλύφου για τα δεκαδικά ψηφία που συμπεριλαμβάνει την αναμφισβήτητη παρουσία για το ψηφίο μηδέν, ένα μικρό κύκλο, εμφανίζεται σε μια λίθινη επιγραφή που βρέθηκε στο Ναός Τσατάρμπχ (Όρχα) (Chaturbhuja Temple) στο Γκάλια (Gwalior) της Ινδίας, χρονολογημένη στο 876 μ.Χ.[8][9]. Υπάρχουν πολλά κείμενα σε πλάκες χαλκού, όπου εμφανίζεται το ίδιο « ο » σ' αυτά και χρονολογήθηκαν μέχρι στιγμής από τον 6ο αιώνα μ.Χ., αλλά η αυθεντικότητά τους μπορεί να αμφισβητηθεί[1].
Το μηδέν στα Μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το μηδέν (0) είναι είναι ο ακέραιος αριθμός που προηγείται άμεσα από το ένα (1). Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός[10], αφού είναι διαιρετός διά δύο (2). Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός, ούτε αρνητικός, αλλά ουδέτερος και δεν φέρει πρόσημο. Σύμφωνα με τους περισσότερους ορισμούς, το μηδέν ανήκει στους φυσικούς αριθμούς,[11] αλλά τότε είναι ο μοναδικός μη θετικός φυσικός αριθμός. Το μηδέν είναι ένας αριθμός του οποίου η ποσότητα είναι ανύπαρκτου μεγέθους. Στους περισσότερους πολιτισμούς, πρώτα ταυτοποιήθηκε το μηδέν και ύστερα σχηματίστηκε η ιδέα περί αρνητικών ποσοτήτων, αφού η ιδέα αυτή ουσιαστικά προϋποθέτει ότι το μηδέν είναι αποδεκτό. Σε ορισμένες περιπτώσεις, όμως, το μηδέν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να διακρίνει έναν αριθμό.
Στη βασική άλγεβρα
Το 0 είναι ο μικρότερος μη αρνητικός ακέραιος. Ο επόμενος φυσικός αριθμός είναι το 1, αλλά δεν υπάρχει προηγούμενος φυσικός αριθμός από το 0. Το 0 μπορεί να θεωρηθεί ή να μη θεωρηθεί ότι είναι ένας φυσικός αριθμός[12], αλλά είναι σίγουρα ένας ακέραιος αριθμός και κατ' επέκταση ένας ρητός αριθμός, ένας πραγματικός αριθμός, αλλά και ένας μιγαδικός αριθμός.
Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός και εμφανίζεται στο κέντρο του άξονα των αριθμών. Δεν είναι ούτε ένας πρώτος αριθμός ούτε ένας σύνθετος αριθμός. Δεν μπορεί να είναι ένας πρώτος αριθμός (δηλαδή να διαιρείται μόνο από το 1 και τον εαυτό του), γιατί έχει άπειρο αριθμό διαιρετών και δεν μπορεί να διαιρεθεί με τον εαυτό του. Επίσης, δεν είναι ένας σύνθετος αριθμός (δηλαδή να μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών), γιατί δεν υπάρχουν πρώτοι αριθμοί που πολλαπλασιαζόμενοι μεταξύ τους να δίνουν 0[13]. Το μηδέν, ωστόσο, είναι ένας άρτιος αριθμός, αφού διαιρείται διά 2.
Οι επόμενοι είναι κάποιοι βασικοί κανόνες που ισχύουν για τον αριθμό 0. Αυτοί οι κανόνες εφαρμόζονται για κάθε πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό x, εκτός αν αναφέρονται εξαιρέσεις
Πρόσθεση: Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, οπότε: x + 0 = 0 + x = x.
Αφαίρεση: x - 0 = x και 0 - x = -x.
Πολλαπλασιασμός: Το 0 είναι το απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού, οπότε: x • 0 = 0 • x = 0.
Διαίρεση: 0 : x = 0, \mathrm{\forall x \ne 0} , αλλά το x : 0 δεν ορίζεται, γιατί το 0 δεν έχει αντίστροφο αριθμό, δηλαδή αριθμό που αν πολλαπλασιαστεί με το 0 να δίνει 1. Λεπτομέρειες δείτε στο άρθρο διαίρεση με το μηδέν.
Ύψωση σε δύναμη: x0 = x/x = 1, \mathrm{\forall x \ne 0}, γιατί το 00 αποτελεί απροσδιοριστία. Ωστόσο, η έκφραση 0/0, μπορεί να παρατηρηθεί σε μια προσπάθεια να καθοριστεί το όριο μιας έκφρασης της μορφής f(x)/g(x) ως ένα αποτέλεσμα εφαρμογής του τελεστή lim ανεξάρτητα στους δυο όρους του κλάσματος. Ονομάζεται «απροσδιόριστη μορφή». Αυτό δε σημαίνει απλά ότι ένα τέτοιο όριο δεν μπορεί να προσδιοριστεί, αλλά ότι μάλλον το \mathrm{\lim \frac{f(x)}{g(x)}} πρέπει να βρεθεί με μια άλλη μέθοδο, όπως ο Κανόνας Λ' Χόσπιταλ (l'Hôpital's rule). Ακόμη, 0x = 0, \mathrm{\forall x \in \mathbb{N}^*} , δηλαδή φυσικό εκτός του 0.
Νιοστή ρίζα: \mathrm{\sqrt[n]{0} = 0, \; \forall n \in \mathbb{N},\; n \ge 2} .
Το άθροισμα 0 αριθμών είναι πάντα 0. Το άθροισμα 0 αριθμών μπορεί π.χ. να οριστεί ως εξής: \mathrm{\sum_{i=a}^bt_i}, όταν b = a - 1.
Το γινόμενο 0 αριθμών είναι πάντα 1. Το γινόμενο 0 αριθμών μπορεί π.χ. να οριστεί ως εξής: \mathrm{\prod_{i=a}^bt_i}, όταν b = a - 1.
Το παραγοντικό του 0 είναι επίσης 1. Δηλαδή 0! = 1.
Σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Στη θεωρία συνόλων, το 0 είναι ο πληθάριθμος του κενού συνόλου. Αν (για παράδειγμα) ένας δεν έχει μήλα, τότε έχει 0 μήλα. Στην πραγματικότητα, σε ορισμένες αξιωματικές εξελίξεις των μαθηματικών από τη θεωρία συνόλων, το ίδιο το 0 ορίζεται να είναι το κενό σύνολο. Όταν η «συνάρτηση πληθάριθμου» εφαρμοστεί σε ένα κενό σύνολο, επιστρέφει την τιμή 0, δηλαδή \mathrm{card( \varnothing) = 0}.
Στην προτασιακή λογική, το 0 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει ότι μια τιμή αλήθειας είναι ψευδής.
Στην αφηρημένη άλγεβρα, το 0 συχνά χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει ένα μηδενικό στοιχείο, που είναι ένα ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση (αν ορίζεται σε μια αλγεβρική δομή υπό κατασκευή) και ένα απορροφητικό στοιχείο για τον πολλαπλασιασμό (επίσης αν ορίζεται στη δομή αυτή).
Στη θεωρία δικτύων, το 0 μπορεί να υποδηλώνει το στοιχείο - πυθμένα, ενός οριοθετημένου δικτύου.
Στη θεωρία κατηγοριών, το 0 μερικές φορές χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει ένα αρχικό αντικείμενο μιας κατηγορίας.
Στη θεωρία αναδρομής, το 0 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει το βαθμό αναδιάρθρωσης των μερικώς υπολογίσιμων συναρτήσεων.
Στη μαθηματική ανάλυση, υπάρχει η έννοια του μηδενισμού (ρίζας) μιας συνάρτησης f, δηλαδή κάθε τιμή της μεταβλητής \mathrm{x \in D_f}, όπου Df το σύνολο ορισμού της συνάρτησης f, για την οποία τιμή x ισχύει f(x) = 0. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν καθόλου μηδενισμούς (ρίζες), άλλες που έχουν έναν, άλλες περισσότερους από έναν, και η σταθερή συνάρτηση \mathrm{f(x) = 0,\;\forall x \in D_f}, που έχει μηδενισμούς (ρίζες) κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της.
Το μηδέν στη Φυσική[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η τιμή 0 παίζει έναν ειδικό ρόλο για πολλές φυσικές ποσότητες. Σε μερικές ποσότητες, το μηδενικό επίπεδο είναι φυσικά διαχωρισμένο από όλα τα άλλα επίπεδα, ενώ σε μερικές άλλες το 0 είναι περισσότερο ή λιγότερο αυθαίρετα επιλεγμένο. Για παράδειγμα, για την απόλυτη θερμοκρασία (όπως μετριέται σε Κέλβιν), το 0 είναι η χαμηλότερη δυνατή τιμή, αν και οι αρνητικές θερμοκρασίες ορίζονται μεν, αλλά δεν είναι πραγματικά ψυχρότερες. Αντίθετα, όταν η θερμοκρασία είναι εκφρασμένη σε βαθμούς Κελσίου, το 0 είναι αυθαίρετα ορισμένο στο σημείο πήξης του νεροὐ. Επίσης, η ένταση ήχου μετριέται σε Ντεσιμπέλ ή Φον, αλλά η μηδενική ένταση ήχου είναι αυθαίρετα επιλεγμένη σε μια τιμή αναφοράς, όπως για παράδειγμα το απόλυτο κατώφλι της ακοής. Επίσης, το μηδενικό επίπεδο ενέργειας ενός κβαντικού μηχανικού φυσικού συστήματος ορίζεται ως η ενέργεια της βασικής κατάστασης συστήματος, που είναι η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να κατέχει το σύστημα.
Το μηδέν στη Χημεία
Το 0 έχει προταθεί ως ο ατομικός αριθμός του υποθετικού χημικού στοιχείου με την ονομασία «τετρανετρόνιο». Έχει αποδειχθεί ότι ένα συγκρότημα τεσσάρων (4) νετρονίων μπορεί να είναι αρκετά σταθερό ώστε να θεωρείται ένα άτομο από μόνο του. Αυτό θα μπορούσε (θεωρητικά) να δημιουργήσει ένα χημικό στοιχείο χωρίς (καθόλου) πρωτόνια και φορτίο στον πυρήνα του.
Από το 1926, ο Καθηγητής Αντρέας φον Αντρόποφ (Andreas von Antropoff) πρότεινε τον όρο νεοτρόνιο (neutronium) για μια υποθετική μορφή ύλης που αποτελείται μόνο από νετρόνια, και χωρίς κανένα πρωτόνιο, που θα τοποθετούνταν, ως χημικό στοιχείο με ατομικό αριθμό 0, ως πρώτο σε μια νέα έκδοση του περιοδικού πίνακα των χημικών στοιχείων. Συνεπώς θα τοποθετούνταν ως ένα ευγενές αέριο, στο μέσο πολλών σπειροειδών αναπαραστάσεων του περιοδικού συστήματος, για την ταξινόμηση των χημικών στοιχείων.

------------------------------------------------
↑ Jump up to: 1,0 1,1 Kaplan, Robert. (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford: Oxford University Press.
Jump up ↑ Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. 46. ISBN 3-540-64767-8.
Jump up ↑ Britannica Concise Encyclopedia (2007), entry algebra
Jump up


1. In a positional number system, a place indicator meaning "no units of this multiple." For example, in the decimal number 1,041, there is one unit in the thousands position, no units in the hundreds position, four units in the tens position, and one unit in the 1-9 position.

2. An independent value midway between +1 and -1.

In writing outside of mathematics, depending on the context, various denotative or connotative meanings for zero include "total failure," "absence," "nil," and "absolutely nothing." ("Nothing" is an even more abstract concept than "zero" and their meanings sometimes intersect.)

Notation for placeholders in positional numbers is found on stone tablets from ancient (3,000 B.C.) Sumeria. Yet, the Greeks had no concept of a number like zero. In terms of modern use, zero is sometimes traced to the Indian mathematician Aryabhata who, about 520 A.D., devised a positional decimal number system that contained a word, "kha," for the idea of a placeholder. By 876, based on an existing tablet inscription with that date, the kha had become the symbol "0". Meanwhile, somewhat after Aryabhata, another Indian, Brahmagupta, developed the concept of the zero as an actual independent number, not just a place-holder, and wrote rules for adding and subtracting zero from other numbers. The Indian writings were passed on to al-Khwarizmi (from whose name we derive the term algorithm ) and thence to Leonardo Fibonacci and others who continued to develop the concept and the number.

Various arithmetic operations that include zero have sometimes been the subject of dispute such as the result of dividing zero by zero. The answer is that it can't be done. Although early mathematicians tried to wrestle some sort of result out of this operation, later ones have decided that this problem just won't bear any fruit. This is viewed as another case where language allows us to ask a question that really doesn't make sense to ask.

Zero to the zeroeth power on the other hand has three possible answers. For some apparently useful reasons, the answer is 1. But in other contexts, the answer can be either "indeterminate" (not capable of being calculated) or "undefined/nonexistent."

This was last updated in March 2011
Contributor(s): Hertzl Regev, Neeraj Sharma, and Harvey Wachtel
Posted by: Margaret Rouse