ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Η ΦΥΣΗ


TO ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΥΜΠΑΝ

Ι.Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI

Γράφουν οι αδελφοί Μπογκντάνοφ : Αν πάρουμε  μια μαργαρίτα  και μετρήσουμε τα πέταλά της είναι ενδεχόμενο να έχει 13 πέταλα.Περιέργως η διπλανή της έχει είκοσι ένα.Οσο για άλλες τρείς που  θα εξετάσουμε στη συνέχεια,μπορεί να έχουν τριάντα τέσσερα ,πενήντα πέντε και ογδόντα εννέα πέταλα αντίστοιχα.Αλλά ποτέ δεν θα βρεθεί  μαργαρίτα που να έχει  δέκα τεσσάρα ή είκοσι δύο,ή πενήντα έξ πέταλα. Αποδεικνύεται δηλαδή ότι ,όπως συμβαίνει με όλα τα λουλούδια,τα πέταλα των μαργαριτών δεν κατανέμονται στη τύχη:Υπακούουν  σε μια μαθηματική ακολουθία ,που είναι γνωστή από τον Μεσαίωνα με το όνομα ακολουθία Fibonacci που παρετήρησε πρώτος  ο  Λεονάρντο της Πίζας (1180-1250) που καθώς ήταν γυιός του Bonaccio ήταν γνωστός ως, Fibonacci.(: γυιός του Bonaccio) Σύμφωνα με την ακολουθία αυτή, κάθε όρος μετά τον πρώτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Δηλαδή:1,1,2,3 ,5,8,13 ,21,34, 55,89, 144 κ.ο.κ

Αλλο παράδειγμα :Πιάνω στα χέρια του ένα τριαντάφυλλο και το παρατηρώ προσεκτικά . Διαπιστώνω ότι, πάνω στο λουλούδι τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Παίρνω ένα μαχαιράκι και κόβωι το λουλούδι. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν  από την ίδια περιοχή,  η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης )   8 ροδοπέταλα συνολικά,  η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει  συνολικά 13,η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα.Οι συγκεκριμένοι αριθμοί κάνουν εντύπωση . Τα ροδοπέταλα διατάσσονται έτσι ώστε οι αριθμοί που προκύπτουν να είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. . .

Αν τα πράγματα σταματούσαν  στη παρατήρηση αυτή,ίσως να μην υπήρχε λόγος ν΄ασχοληθεί κανείς περισσότερο.

Αλλά.

1.Οι αριθμοί αυτοί,πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό που ορίζεται από ένα κλάσμα με αριθμητή την τετραγωνική ρίζα του 5-1 και παρανομαστή,το 2,δηλαδή τη χρυσή τομή.Αυτός ο αριθμός, προκύπτει και αν εκτελέσουμε με τον υπολογιστή μας τσέπης, την πράξη 1/1/+1/1//…. ,Σαφέστερα: Παρατηρούμε ότι το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας ,τείνει στη χρυσή τομή.  (Ο αριθμός αυτός είναι ο  υπερβατικός ,1,618 ..ακολουθούμενος από άπειρους δεκαδικούς.

2.Η ακολουθία αυτή εμφανίζεται παντού στη φύση. Ετσι σε κάθε κλαδί,τα φύλλα αναπτύσσονται σε αποστάσεις μεταξύ τους που αντιστοιχούν στην ακολουθία.Επίσης οι τιμές της ακολουθίας εμφανίζονται  στα λουλούδια,τα περισσότερα απ΄αυτά,έχουν 3,5,8,13,21,34,55 ή 89 πέταλα.Η ακολουθία εμφανίζεται επίσης στους ηλιάνθους.Σχετικές είναι οι παρατηρήσεις του Ian Stewart ,στο βιβλίο του Nature’s Number.  .

Αν φτιάξουμε μια νέα ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της προηγούμενης  θα έχουμε     3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21. . - με προσέγγιση θα είναι 1,5,   1,667,   1,6,   1,625,   1,615   1,619 . .  -  και θα διαπιστώσουμε ότι συγκλίνει προς έναν αριθμό. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός προς τον οποίο συγκλίνει η ακολουθία θα είναι ο φ, ο αριθμός (1+Ö5) /2 ή  - με τρία δεκαδικά -   ίσος με 1, 618, ο αριθμός που αντιστοιχεί στη ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.,για την οποία γράφουμε πιό κάτω.

 ΙΙ.Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Π

    Παράδοξα πράγματα συνδέονται με τον αριθμό π αν πιστέψουμε αυτά που μαθηματικοί δέχονται,όπως γράφουν στο βιβλίο τους «Πριν από  τη  Μεγάλη Εκρηξη» (Εκδόσεις Ενάλιος2009—Avant le Bing Bang - Grasset et Fasquelle 2004)   οι αδελφοί  Igor και   Grichka  Bogdanov. Σύμφωνα λοιπόν με την άποψη που καταγράφεται  στο βιβλίο  αυτό,  σήμερα οι ειδικοί  είναι σχεδόν βέβαιοι ότι, ο  αριθμός π είναι συμπαντικός αριθμός:  ότι, δηλαδή,εν προκειμένω μπορεί να  είμαστε απολύτως σίγουροι,όσο παράλογο και αν  τούτο ακούγεται ,ότι οποιαδήποτε ακολουθία εξαριθμισμένων  ψηφίων  ενός  cd( για παράδειγμα  εκείνη που αντιστοιχεί στην εξαρίθμηση του  Requiem  του Μότσαρτ) υπάρχει σε αυστηρά όμοια σειρά, καταχωνιασμένη μέσα στα βάθη τού αριθμού π .Εδώ καθένας μπορεί να πραγματοποιήσει ένα συναρπαστικό πείραμα: να ξαναβρεί την ημερομηνία γεννήσεώς του, με την ίδια σειρά μέσα στην ακολουθία  των δεκαδικών αριθμών του π.Είτε πρόκειται  για το 208191912 είτε για το 14011980 ή το 13061972,αυτές οι ημερομηνίες θα βρίσκονται απαραίτητα κάπου μέσα στην ακολουθία.Ακόμη και η  διάσημη ημερομηνία  της ανακωχής  της 8ης Μαίου 1945 (08051945) βρίσκεται ακριβώς  στην 25.462.402η σειρά μετά το κόμμα, όπως είναι εύκολο να εξακριβωθεί.Πράγμα ,που μας οδηγεί στην ακόλουθη τρομερή και ιλιγγιώδη ερώτηση: Μήπως τελικώς ολόκληρο το Σύμπαν βρίσκεται μυστηριωδώς κωδικοποιημένο σε κάποιον υπερβατικό αριθμό,σε κάποιο συμπαντικό  αριθμό;  

ΙΙΙ.Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Όπως γράφει ο Αmir Aczel ,το ιδιαίτερο σύμβολο των Πυθαγορείων ήταν ένα αστέρι με πέντε κορυφές,εγγεγραμμένο  σ’ ένα πεντάγωνο.Οι διαγώνιοι του πενταγώνου που σχηματίζουν το αστέρι  τέμνονται μεταξύ τους ώστε να σχηματίζουν ένα αντεστραμμένο μικρότερο πεντάγωνο.Αν σχεδιάσουμε τις διαγώνιες του μικρότερου αυτού πενταγώνου, σχηματίζεται ένα μικρότερο αστέρι με πέντε κορυφές κ.ο.κ.Το συγκεκριμένο πεντάγωνο και το αστέρι  έχει συναρπαστικές ιδιότητες, Κάθε σημείο τομής των διαγωνίων, διαιρεί τις διαγωνίους σε δύο άνισα τμήματα μεταξύ τους.Το πηλίκο  της ολόκληρης διαγωνίου  προς το μεγαλύτερο τμήμα ισούται ακριβώς με το πηλίκο  τού μεγαλύτερου τμήματος προς το μκρότερο.Το πηλίκο αυτό ονομάζεται Χρυσή Τομή.Είναι άρρητος αριθμός και ισούται με το 1,618…..

Η χρυσή τομή εμφανίζεται τόσο σε φυσικά φαινόμενα όσο και σε αναλογίες που το ανθρώπινο μάτι αντιλαμβάνεται ως καλαίσθητες.Και επιπλέον  εμφανίζεται  και στην ακολουθία Φιμπονάτσι. Όπου όπως ήδη γράψαμε  το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας ,τείνει στη χρυσή τομή.

IV .Η ΧΙΟΝΟΝΙΦΑΔΑ

Ιδωμένη μ' ένα μεγεθυντικό φακό, η ομορφιά της χιονονιφάδας αποκαλύπτεται : ένα μικροσκοπικό γεωμετρικό κόσμημα, μια ζωντανή ένδειξη της περίπλοκης μορφής και της γοητείας που κρύβουν τα σχήματα της φύσης.Όταν  κάποιος δει στο μικροσκόπιο μια νιφάδα του χιονιού θα θαυμάσει το συμμετρικό σχήμα της. Πρόκειται για ένα μικροσκοπικό εξαγωνικό κρύσταλλο, που αποτελείται από έξι σχεδόν όμοια πέταλα. Έτσι αν τον περιστρέψουμε κατά 60 ή κατά 120 μοίρες γύρω από το κέντρο του θα φαίνεται ακριβώς όμοιος. O κρύσταλλος δηλαδή παραμένει αναλλοίωτος κάτω από έναν τέτοιο μετασχηματισμό περιστροφής, γεγονός που χαρακτηρίζει τη συμμετρία του.

 O πρώτος που έθεσε το γρίφο του εξαγωνικού σχήματος της χιονονιφάδας ήταν ο Κέπλερ : " Πρέπει να υπάρχει κάποιος λόγος για τον οποίο, όποτε χιονίζει, οι αρχικοί σχηματισμοί του χιονιού επιδεικνύουν πάντα ένα εξάγωνο σχήμα. Γιατί δεν πέφτουν νιφάδες με πέντε ή επτά γωνίες ; γιατί πάντα με έξι, δεδομένου ότι δεν πέφτουν συμπυκνωμένες, αλλά παραμένουν διάσπαρτες ; "

Έχοντας μεγάλη εμπειρία σχετικά με τα σχήματα της φύσης και τα μαθηματικά τους ανάλογα, ο Κέπλερ έδωσε μια  εξήγηση για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας. Γνωρίζοντας ότι, το χιόνι αποτελείται από συμπυκνωμένο ατμό, θεώρησε ότι πήζει σε σταγονίδια συγκεκριμένου σχήματος που έχουν επίσης έναν συγκεκριμένο τρόπο επαφής, συμπεραίνοντας ότι : " Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από την σχηματική προσαρμογή κι΄ από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά. "

Ακόμη, συνδέοντας την εξαπλή μορφή της χιονονιφάδας με την κρυσταλλική φύση του πάγου, γρήγορα κατευθύνθηκε προς την ιδέα ότι, αποτελούνται από μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων μικροσκοπικών μονάδων συνταιριασμένων σε σχήματα με κανονικότητα.

V. Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!

    Γιατί  η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα!

 (Μιά) εξήγηση :Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά,αφετέρου είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.

Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαμέριση για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού.

Εχει γραφεί πώς αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά ( λογισμό μεταβολών ) ότι, αν θέλουμε να διαμερίσουμε ( να χωρίσουμε σε μικρότερα τμήματα ) ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνετε με την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η μέλισσα  δηλαδή γνωρίζει και ανώτερα μαθηματικά!

Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;

Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο»;

Από όλα τα κανονικά επίπεδα σχήματα, εκείνα που η μέλισσα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει για την κατασκευή των κελιών της, είναι τρία. Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Μόνον αυτά τα τρία γεωμετρικά σχήματα «κλείνουν» ακριβώς το επίπεδο χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους. Π.χ. τα πεντάγωνα , τα επτάγωνα, οκτάγωνα κλ.π δεν «κουμπώνουν» επακριβώς μεταξύ των. Αφήνουν ενδιάμεσο κενό χώρο. (π.χ. Πενταγωνική και οκταγωνική διάταξη)

Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο; Ιδού το ερώτημα!

 Παραθέτουμε μιά εξήγηση: Γνωρίζουμε ότι η μέλισσα σε κάθε κελλί εναποθέτει την αυτή ποσότητα μελιού. Ας υποθέσουμε ότι, το απαιτούμενο εμβαδόν για κάθε κελί είναι 1 τετραγωνική μονάδα. Αν κατασκεύαζε π.χ. τετραγωνικές κυψελίδες τότε αυτές θα είχαν πλευρά 1 μονάδα μήκους, οπότε 1 Χ 1=1 τετραγωνική μονάδα. Αν θα κατασκεύαζε ισόπλευρες τριγωνικές κυψελίδες, τι μήκος θα έπρεπε να έχει η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ώστε το εμβαδόν του να είναι ισοδύναμο με 1 τετραγωνική μονάδα;

Από τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού (*) οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου επιλύουμε ως προς a και για εμβαδόν = 1 τετρ. μονάδα, βρίσκουμε ότι το τρίγωνο θα έπρεπε να έχει μήκος πλευράς ίσο με = 1,52 μονάδες μήκους.

Αν κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ισοδύναμου κανονικού εξαγώνου, βρίσκουμε ότι το μήκος της πλευρά του ισούται με 0,62 μονάδες μήκους.

Επομένως :

- στην περίπτωση της τριγωνικής κατασκευής η περίμετρος του τριγώνου ισούται με 3 Χ 1,52 = 4,56 μονάδες μήκους.

- στην περίπτωση κατά την οποία η μέλισσα θα κατασκεύαζε ορθογωνικά κελιά το καθένα θα είχε περίμετρο 4 Χ 1 = 4 μονάδες μήκους.

- στην περίπτωση της εξαγωνικής κατασκευής η περίμετρος του κάθε κελιού ισούται με 0,62 Χ 6 = 3,72 μονάδες μήκους.

Συμπέρασμα:

 Η επιλογή του εξαγωνικού σχήματος δεν είναι τυχαία. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αφετέρου είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.

Και κάτι πιο εντυπωσιακό. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση με την πλευρά του ισοδυνάμου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τομής. Πράγματι ο λόγος 1 / 0,62 = 1,62 όπου 1,62 = φ. Ο νόμος της τέλειας αρμονίας σε όλο του το μεγαλείο. Η πλευρές δηλαδή του των ισοδυνάμων τετραγώνου και εξαγώνου σχηματίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται με 1,62 ήτοι =φ. Για τον αριθμό φ βεβαίως θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε ολόκληρη πραγματεία αλλά δεν είναι επί του παρόντος. Αρκεί να αναφέρουμε ότι όλες οι αρμονικές σχέσεις στην φύση καθορίζονται από αυτόν το ιεροκρύφιο αριθμό. Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που τον είχαν προσδιορίσει μαθηματικώς και τον εφάρμοζαν σε κάθε καλλιτεχνική τους δημιουργία, γλυπτική αρχιτεκτονική, μουσική. (συμβολίζεται με το γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου φ προς τιμή του Φειδία). Και εύλογα διερωτάται κανείς! Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;

Είναι αυτό «Τυχαίο;», Η απάντηση δεν είναι«Δεν νομίζω» αλλά «Βεβαίως όχι!!!». «Δεν είναι καθόλου τυχαίο!!!»

VI.ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ ΜΠΕΝΑΡ

Παίρνουμε εάν υγρό,λ.χ.νερό.Το θερμαίνουμε σ’ένα δοχείο.Διαπιστώνουμε πώς τα μόρια του νερού οργανώνονται συνενώνονται με ένα διατεταγμένο τρόπο για να σχηματίσουν «εξαγωνικά κύτταρα»  κάπως παρόμοια με τα στοιχεία ενός βιτρό.Το απροσδόκητο αυτό φαινόμενο,γνωστό ως η « αστάθεια του Μπενάρ» κέντρισε το ενδιαφέρον τού Ιλία Πριγκοζιν που αναρωτήθηκε ως προς τι μπορούσε να προκαλέσει τη γέννηση μιάς ορανωμένης δομής,στους κόλπους του χάους(Βλ.  ¨Θεός και Επιστήμη» σελ.60 και   Ilya Prigogin/ I.Stengers “La Nouvelle Alliance” Folio-Gallimard 1986).O Πριγκογκίν  σκέφθηκε ΄ πώς αυτό που είναι δυνατόν στη δυναμική των υγρών,πρέπει επίσης να είναι δυνατόν και στη χημεία και την βιολογία,και ότι ,υπάρχει μια ιδιότητα της ύλης που συνδέεται με τα φαινόμενα αυτοδόμησης., καθώς η ύλη από τη φύση της  τείνει να δομηθεί για να γίνει ζωντανή ύλη  Βλέπει ένα  είδος αδιάσπαστου νήματος που συνδέει μεταξύ τους το άψυχο,το προ-ζωντανό και το ζωντανό .Οτι ,από το χάος δημιουργείται τάξη.

VII. TO ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΩΝ ΔΥΟ ΣΧΙΣΜΩΝ

( Θεός και Επιστήμη σελ. 125 επ.---- Πώλ Ντέηβις   Συμπαντικό τζάκ-ποτ-340 επ.----Gary Zujav La danse des éléments  79 suiv.

Το πείραμα των δύο σχισμών (γνωστό και ως πείραμα του Τhomas Young) αποδεικνύει  πως τα σωματίδια, είτε ύλης (πχ. ηλεκτρόνια) είτε ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (φωτόνια), εκδηλώνουν και σωματιδιακή και κυματική συμπεριφορά.. Το πείραμα αυτό πραγματοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Άγγλο φυσικό Thomas Yang στις αρχές της δεκαετίας του 1801. Το πείραμα αυτό έγινε με φως και έπεισε, την εποχή εκείνη, πως η πρόταση του Ισαάκ Νεύτωνα ότι το φως είναι ρεύμα σωματιδίων,(αλλά και του Αινστάιν πύ δέονταν ότι φώς αποτελείται από μικρούς κόκκους,τα φωτόνια) ήταν λανθασμένη.. Έκτοτε το πείραμα επαναλήφθηκε με όλο και μεγαλύτερη λεπτομέρεια και παραλλαγές( όπως από τον Wheeler  to 1980) και δείχνει πλέον πως το φως εμφανίζει δύο φύσεις, και σωματιδιακή και κυματική, καθώς και ότι τα σωματίδια της ύλης εμφανίζουν κι αυτά κυματικές ιδιότητες.

Στο πείραμα αυτό, κατά το οποίο τα σωματίδια αναγκάζονται να περάσουν μέσα από μια διάταξη με δύο λεπτές παράλληλες σχισμές που είναι πολύ κοντά η μία στην άλλη, παίζει σημαντικό ρόλο η παρατήρηση. Στην προσπάθειά του παρατηρητή να δει από ποια σχισμή περνά το κάθε σωματίδιο, αλλοιώνεται η συμπεριφορά που αυτά εμφανίζουν σε σχέση με όταν δεν τα παρατηρεί. Η προσπάθεια παρατήρησης τα κάνει να εκδηλώνουν ιδιότητες ύλης ενώ όταν δεν τα παρατηρεί εμφανίζουν κυματικές ιδιότητες.

Αναλυτικότερα και σαφέστερα.

 Ο Γιάνγκ,εχρησιμοποίησε μια φωτεινή πηγή, που στέλνει μεμονωμένα φωτόνια  προς μιά οθόνη με δύο σχισμές,από τις οποίες περνά το φώς και καταλήγει σε μιά δεύτερη οθόνη,που εμφανίζει την εικόνα που  σχηματίζει το φώς αφού περάσει μέσα από τις  σχισμές."Λογικώς  η οθόνη η εικόνα στην δεύτερη οθόνη θάπρεπε να αποτελείται από δύο φωτεινές και αλληλοκαλυπτόμενες θαμπές φωτεινές περιοχές.Ομως στην πραγματικότητα,η εικόνα που σχηματίζεται δείχνει μιά εναλλαγή σκοτεινών και φωτεινών λωρίδων,που ονομάζονται κροσσοί συμβολής,και δείχνουν μιά κυματική φύση του φωτός.Μόλις τα κύματα περάσουν από τις δυό σχισμές,αρχίζουν να εξαπλώνονται και κάποια στιγμή συγχωνεύονται δημιουργώντας το φαινόμενο τής συμβολής.Οπου φθάνουν με τον ίδιο βηματισμό(με την ίδια φάση) ενισχύονται ενώ όπου δεν είναι σγχρονισμένα εξουδετερώνονται.Αυτό  όπως είπαμε αποδεικνύει την κυματική φύση του φωτός.

Αλλά.

Αν πειραματιστής μειώσει την ένταση τής φωτεινής πηγής,ώστε να περνά κάθε φορά από τη συσκευή ένα φωτόνιο,τότε το φωτόνιο θ αφήσει στο φίλμ ένα μικρό σημάδι,το φωτόνιο θα φθάσει σ'ενα συγκεκριμένο  σημείο τής οθόνης, και δεν θα απλώνεται.πράγμα που δείχνει μιά σωματιδιακή φύση.Αν κλείσουμε μιά από τις δύο σχισμές,λ.χ. την αριστερή,τότε τα φωτόνια θα πρέπει να περάσουν από την δεξιά. Μειώνουμε την ένταση τής φωτεινής πηγής και εξακοντίζουμε ένα φωτόνιο,που περνάει από τη μόνη ανοιχτή πόρτα και πέφτει επάνω στην οθόνη.Θάπρεπε να μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το σημείο κρούσης του φωτονίου πάνω στην οθόνη.Ανοίγουμε τώρα και την αριστερή σχισμή..Εξακοντίζουμε ένα καινούργιο φωτόνιο (που ξεκίνησε από το ίδιο σημείο,με το πρώτο με την ίδια ταχύτητα και την ίδια κατεύθυνση με το πρώτο)ώστε να περάσει από τη δεξιά πάντοτε σχισμή.Το παράδοξο λοιπόν είναι ότι, το δεύτερο αυτό φωτόνιο  χτυπάει την οθόνη,όχι στο ίδιο σημείο που χτύπησε την οθόνη το πρώτο,αλλά σε ένα άλλο σημείο.Δηλαδή η συμπεριφορά του δευτέρου αυτού φωτονίου, είχε τροποποιηθεί, από το άνοιγμα τής  αριστερής σχισμής, ώσάν το δεύτερο αυτό φωτόνιο, να εγνώριζε ότι η αριστερή σχισμή ήταν ανοιχτή.Πως το εγνώριζε; Είναι σαν το δεύτερο φωτόνιο να έχει συνείδηση,όπως θάλεγε ο  Τεγιάρ ντε Σαρντέν,πράγμα που η πλειονότητα των  σύγχροωνω φυσικών δεν δέχεται.Και το μυστήριο συνεχίζεται.Ας υποθεσουμε πώς κατορθώνω να εντοπίσω από ποιά σχισμή  διέρχεται κάθε φωτόνιο. Στην περίπτωση αυτή,δεν σχημαίζονται κροσσοί συμβολήε.Αντιθέτως αν δεν προσπαθήσω κάτι τέτοιο θα έχουμε εικόνα κυματικών συμβολών.

Το πείραμα έχει διχάσει την επιστημονική κοινότητα για το τι ακριβώς συμβαίνει όταν το σωματίδιο διέρχεται από τη διάταξη των δύο σχισμών και οι εξηγήσεις που έχει επιχειρηθεί να δοθούν ξεπερνούν, όλες, τα όρια της μέσης ανθρώπινης λογικής. Για τον λόγο αυτό η «ορθόδοξη» άποψη της κβαντικής μηχανικής έχει τη θέση πως δεν υπάρχει ερμηνεία και δεν οφείλει κανείς να εξηγήσει τι ακριβώς συμβαίνει στο επίμαχο μέρος της πειραματικής διάταξης και πως πρέπει να δεχόμαστε πως απλώς συμβαίνει σύμφωνα με τον μαθηματικό φορμαλισμό που περιγράφει με επιτυχία το σύστημα.

Το 2002, η έκδοση του πειράματος των δύο σχισμών του Jönsson, με ηλεκτρόνια, ψηφίστηκε ως το πιο όμορφο πείραμα Φυσικής όλων των εποχών από τους αναγνώστες του Physics World.

Αν θέλουμε να ανακεφαλαιώσουμε και παραθέσουμε συμπεράματα,σκέψεις  και εξηγήσεις σχετικές με το πείραμα έχουμε

-Δεν έχει νόημα να μιλάμε  για την αντικείμενο ή ύπαρξη ενός στοιχειώδους σωματιδίου  σε ένα καθορισμένο σημείο του χώρου.

-Ισως πρέπει να εγκαταλειφθεί η άποψη πώς το φωτόνιο είναι ένα καθορισμένο αντικείμενο.Υποστηρίζεται πώς δεν υπάρχει παρά με την  μορφή,ενός κύματος πιθανοτήτων.

-Ανακύπτει το ερώτημσ τι απογίνεται ένα κβαντικό φαινόμενο από την στιγμή που παύουμε να το παρατηρούμε.

-Ο Paul Davies  λέγει πώς το συμπέρασμα του πειράματος "αναδεικνύει εμφαντικά τον καίριο ρόλο του πειραματιστή, στον καθορισμό τής φύσης τής κβαντικής πραγματικότητας.

   

VIΙΙ. ΤΑ ΖΩΑ ΚΑΙ ΤΑ... ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αν τα ποτάμια και οι αράχνες εντυπωσιάζουν όσους ασχολούνται με τη γεωμετρία υπάρχουν άλλα ζώα, όπως οι πυγολαμπίδες και τα τζιτζίκια που μας εισάγουν σε ανώτερα μαθηματικά.

Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι, οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.

«Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ενα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λέγει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ένα προς το άλλο μέσω του τοίχου!

Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.

ΙΧ. ΠΡΩΤΟΙ  ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ... ΤΖΙΤΖΙΚΙΑ

Τα τζιτζίκια  και συγκεκριμένα τα είδη Magicicada Septendecim και magicicada tredecim, παρουσίασαν ένα ακόμα χαρακτηριστικό για την εξήγηση του οποίου οι βιολόγοι ζήτησαν και πάλι τη βοήθεια των μαθηματικών. Και τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται κάθε 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα, ζευγαρώνουν, γεννούν τα αυγά τους και πεθαίνουν.

Το υπόλοιπο διάστημα της ζωής τους παραμένουν ως νύμφες κάτω από το έδαφος. Σημασία εδώ έχει ότι, ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα.

Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι, η μαθηματική αυτή ακρίβεια τα προστατεύει από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Ενα σενάριο προέβλεπε ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι «αποφεύγει» έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5 κ.ο.κ.

Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989.

Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο 0.618033989 δηλαδή 1/φ=φ+1.